Вы вошли как ГостьПриветствую Вас, Гость
Главная » 2013 » Сентябрь » 1 » Предсказание будущего с позиции ур. Шредингера
15:02
Предсказание будущего с позиции ур. Шредингера

В 1926 году Эрвин Шредингер опубликовал в своих работах знаменитое уравнение, названное его именем. Теория Шредингера заключается в предположении двойственной природы микромира (впоследствии названной "квантово-волновой дуализм"). Мы привыкли, что в макромире существуют четкие границы между волновыми и корпускулярными свойствами вещества. Летящий самолет является примером переноса энергии движущимся телом и описывается вторым законом Ньютона. А, бегущая по поверхности воды волна переносит энергию без переноса вещества и описывается волновым уравнением. В микромире все иначе.

Движущееся с околосветовой скоростью тело проявляет не только свойства частицы, но и подчиняется законам волновой оптики. Проще говоря, чем больше скорость движения тела, тем в большей степени (с большей точностью) его состояние может быть описано волновыми законами. Ниже представлено линейное гиперболическое уравнение 2-го порядка (1), описывающее движение поперечных волн.

волновая функция

Корпускулярное движение описывается на основании уравнения Эйнштейна: E=mc2, и представлений Ньютоновской механики.

На практике, это значит, что если мы попытаемся рассчитать характеристики полета (траекторию, время прибытия в определенную точку, частоту колебаний и пр.) пули при скорости 500 м/сек и массе 7 граммов исходя из законов движения частиц, то ошибка расчета составит порядка тысячных долей процента от найденных величин. Если подобный расчет проводить исходя из волновой функции, то ошибка расчета будет на порядки превышать найденные величины.

Для снаряда электромагнитной пушки, летящего со скоростью 500 км/сек и массой 1 грамм, ошибка определения по корпускулярным законам составит порядка нескольких процентов от найденных величин. А, расчет по волновым законам, даст погрешность около нескольких десятков процентов от найденных величин. Если же тело движется со скоростью в несколько десятков тысяч километров в секунду, тогда, расчет, основанный на волновых функция даст большую точность определения параметров движения тела, чем корпускулярные функции.

Для микромира, где практически все скорости одного порядка со скоростью света, наиболее применимы законы корпускулярно-волнового дуализма. Базой для данных теорий служат уравнение Шредингера (а также, его частные случаи: уравнение Паули, уравнение Клейна — Гордона, уравнение Дирака и др.) и разработанная Вернером Гейзенбергом "матричная механика”. "Матричная механика” является математическим обоснованием т.н. "теории неопределенности Гейзенберга” на основании матричной системы исчисления. Основная суть теорий идентична, они являются доказательством друг друга, но, математическое обоснование Шредингера не такое громоздкое и проще в понимании.

Наиболее краткая и общая запись уравнения Шредингера (упрощенная до предела) выглядит как: НΨ=ЕΨ, где Н – гомельтониан Дирака (описывает общую энергию системы, то есть, взаимодействие данной частицы со всеми частицами системы), Ψ – волновая функция частицы (описывает изменение положения частицы в трехмерном пространстве в течении времени), Е – полная энергия электрона.

Как видим, каждый из операторов этого уравнения является величиной, рассчитываемой в достаточно длинном и сложном ряде вычислений. Основной смысл данного уравнения состоит в обобщении этих величин, что дает возможность определять и прогнозировать параметры движения частицы в микромире, причем, используя законы движения волн.

Несколько более развернутая форма записи данного уравнения с использование гомельтониана Дирака:

Шредингер

Синим цветом приведено примерное значение операторов уравнения. Иными словами, можно перефразировать смысл этого выражения примерно так: положение частицы, движущейся в трехмерной системе координат, можно рассчитать (в определенный момент времени) с высокой степенью вероятности, если достаточно точно знать ее кинетическую энергию и характер взаимодействия с другими частицами системы. Если бы можно было достаточно точно измерять энергию взаимодействия всех частиц в системе любой сложности, в режиме реального времени. И при этом, достаточно быстро проводить расчеты, основанные на вышеупомянутых принципах, стало бы возможно предсказывать поведение системы через любой промежуток времени.

То есть, предсказывать будущее. На практике это не реализуемо, по причине огромных технических сложностей определения взаимодействия между элементарными частицами в реальных системах (да еще и в режиме реального времени, то есть, достаточно оперативно). Но, главная проблема состоит в объеме требуемых вычислений и необходимой скорости их проведения.

Для начала, объем вычислений. Впервые, уравнение Шредингера было решено еще в 20-е годы прошлого века для атома водорода. То есть, для системы из двух элементарных частиц с достаточно простой природой взаимодействия и сравнительно легко определяемой энергией электрона (пропорциональной разнице между энергией взаимодействия этих двух частиц на данном расстоянии, и энергией ионизации атома). Форма орбитали атома достаточно проста. Не смотря на это, расчеты заняли около недели у профессионального математика с весьма незаурядным интеллектом. Для записи решения потребовалась тетрадь в несколько десятков страниц.

Следующим шагом стало решение уравнения Шредингера для атома гелия, то есть, системы из двух электронов, двух протонов и двух нейтронов. Причем, два нейтрона вносят небольшой вклад в процессы, происходящие в системе. Решение этой задачи стало возможно только с появлением достаточно мощных ЭВМ в конце 80-х годов прошлого века. Решение занимает у ЭВМ несколько минут, при частоте процессора в 1,5 МГц и объеме оперативной памяти около 1 Гб. Для записи решения этого уравнения на бумаге мелким шрифтом потребовалось бы несколько десятков квадратных километров бумаги.

Для более сложных систем, уравнение Шредингера не решено по сей день. Современные компьютеры зависают намертво даже над атомом лития (три электрона, три протона и три нейтрона), так как, при добавлении в системы одной дополнительной частицы, усложнение расчетов происходит на насколько порядков. Так как, приходится совместно решать систему из числа уравнений, равного числу частиц. При этом, результаты первого расчета каждого из уровней, приводят к изменению исходных параметров для расчета всех остальных. То есть, приходится пересчитывать данную систему многократно, чем большее количество раз, тем точнее будет результат.

Не нудно быть "семь пядей во лбу” и гением программирования, что бы понимать, что, например, для атома железа (26 электронов, 26 протонов и 29 нейтронов) уравнение Шредингера не может быть решено при сегодняшнем и даже завтрашнем уровне развития вычислительной техники. Что уже говорить о телах макромира, в которых количество молекул составляет числа в 30-40 степенях, при количестве элементарных частиц в каждой молекуле в сотни, и тысячи штук.

Что касается быстродействия расчетов, то, нужно учитывать скорость изменения картины в микромире. За один виток электрона вокруг ядра атома, последнее успевает совершить в среднем 0,1-5 колебаний. При этом меняется картина взаимодействия частиц системы на 10-300% (в зависимости от типа и размера системы). Значит, за такой промежуток времени следует успевать пересчитывать весь алгоритм. Исходя из размеров атомов и молекул и скоростей движения электронов, можно утверждать, что ни одна вычислительная машина никогда не сможет произвести за столь короткий интервал времени ни одной вычислительной операции. Не говоря уже о расчете всего алгоритма. Это следует из самой природы вычислительных процессов в ЭВМ.

Таким образом, создать подобный расчетно-предсказывающий прибор невозможно, по причине его абсолютной технической нереальности.

Мне доводилось встречать в курсе философии, теории о принципиальной невозможности предсказания поведения системы во времени, причем любой системы, вне зависимости от ее сложности. Там даже приведена воображаемая механическая модель с вращающимся коническим диском и шариком. Вопрос поставлен так: в какой точке периметра вращающегося конуса будет выброшен центробежной силой шарик, если его сбросить точно в центр конуса (рисунок 1а). Исходные параметры системы крайне идеализированы (идеально круглый шарик, точно в центр, идеально симметричный конус, абсолютно упругие тела и пр.). При такой постановке вопроса результат следующий: шарик не вылетит на периметр конуса под действием центробежной силы, а будет до бесконечности подпрыгивать в центре (ибо нет трения и шарик абсолютно упругий, то есть, не деформируемый). При этом, он постепенно получит от диска осевой вращение в горизонтальной плоскости, и будет при подпрыгивании еще вращаться (рисунок 1б). Если шарик не абсолютно упругий, то он будет деформироваться при падении и нижняя часть приобретет форму конуса (рисунок 1в). При этом, энергия израсходуется на деформацию и деформированный шарик окажется лежащим в центре вращающегося конуса.

Рисунок 1.

Довод данной теории о "обязательном” перемещении шарика к периферии основан на визуальных наблюдениях и отсутствии систем, где не соблюдается данное правило. Но, и идеальных систем в природе нет. Всегда есть отклонения от абсолютной симметричности и пр.

Таким образом, предсказать поведение системы на любой промежуток времени вперед, в принципе (теоретически) возможно. Другое дело, что построить машину, которая могла бы предсказывать будущее технически абсолютно невозможно.

Категория: Пища для размышлений | Просмотров: 1469 | Добавил: Chemadm | Теги: прогнозирование поведения электрона, рассчет вероятностей, уравнение Шредингера | Рейтинг: 4.6/31
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]